《三体》中顶级天才们才有的图形化数学思维，孩子也能用来解应用题

前两周曾经写过应用题的重要性，以及如何用各种不同的思路，来解答经典的应用题“鸡兔同笼”（点击阅读：《狂飙》中欺负学霸的鸡兔同笼，为什么是重要的数学应用题型）

留言中有不少读者希望能多讲讲关于应用题，所以我们在上周的团购中，也安排了一次应用题主题的桌游（点击阅读：桌游搞定数学应用题：鸡兔同笼、灌水排水、追及相遇、顺逆水行船...）。

今天我们则会聊一下上次没有完全展开的话题，如何用图形化的思维，来解应用题。

把抽象的数学概念图像化，也就是我们之前曾经多次提到的数形结合的思维方式。也就是不要仅仅抽象的去看待数学，而是要尽量把它图像化。

关于这点，大刘在《三体》中也提到过好几次，而且都是描述全书中最天才的几个头脑。比如叶文洁之所以发现了女儿杨冬的天赋，就是听到她觉得“这个公式真好看，真漂亮”，而不是“真巧妙”。

而魏成作为书中的顶级数学天才，对他他天才的描述，就在于“任何数字组合都是一种立体形体”，而对于几何图形，“一切都是数字了”。这应该是老刘笔下“数形结合”的极致体现了。

而在我们从小的数学应试教育中，更多的是关注计算速度，如何更高效的答题。我们固然可以量产出对数字、四则运算更敏感，甚至在奥数比赛中分数更高的孩子，但同时，这种教育也把数学营造成一个只有数字、字母和公式的抽象学科。不仅容易磨灭孩子对于数学的兴趣，也会让孩子的数学之旅走入死胡同，影响未来在数学以及其他理科上深造的可能。

而且即便不考虑把孩子培养成数学家或者科学家，图像化的数学思维，也能帮助孩子更好的理解数学题目，比如我们提到的应用题中另外一个很常见的类型“追及相遇”。

“追及相遇”题目是小学数学中很常见的一类，一直到高中物理，甚至高考中同样还会用到。这里涉及到两种相似的题目，也就是同地不同时的追及，和同时不同地的相遇。“追及”的基础题型，是说从一个地方后同向出发的两个人（或车辆、船等等），后出发的人速度更快，问什么时候能追到。“相遇”则是指两个人分别从两个地方相向而行，问什么时候可以相遇。

一般来说，解决追及相遇问题，就是套用速度距离公式，距离=速度×时间，然后计算，或者设未知数解方程。

那用数形结合的图像化方式，如何解呢？

当我们看到A=B×C这样的计算公式时，其实很容易联想到一种图形，那就是长方形。因为长方形的面积就等于底乘高。所以所有的物体运动距离，就是在一个速度-时间的平面上，某个图形的面积。

比如做匀速运动的物体，它的状态其实就是下面这样的长方形，它运动的过程，就是将下面这个黄色的长方形变得越来越长的过程，而距离，就是黄色长方形的面积。

掌握了这种图形结合的思维模式，我们再来看追及相遇问题，就变得如杨冬一样，觉得这个应用题很“好看”了。

比如，在相遇问题中，已知甲乙两个人之前的距离，以及他们各自的速度，问他们什么时候能相遇。而抽象的时间速度，变成了甲乙两个长方形的图像。问题就转化成了，知道两个长方形的总面积（初始距离），以及各自的高度（速度），求他们共同的底边长度（相遇时间）。

而追及问题，同样可以变成图形。甲乙因为是同向而行，所以变成了叠在一起的两个长方形，其中一个长方形（速度快）比另外一个更高。两个长方形的面积差，就是快的人多走的距离。如果这个差的面积（虚线部分）正好达到开始时两者的距离，也就是甲追上了乙。所以追及问题，就变成了：已知下图黄色虚线部分的面积（初始距离），以及左边两个高度（甲乙各自的速度），求底边长度（追及时间）。

可能会有人认为，这样还不如直接套公式、列方程简单。对于小学题目来说，或许的确如此。但图形结合的图像化思维，更重要的是为孩子未来的数学打基础。

比如，如果运动不再是匀速运动，而是匀加速运动呢？题目变成：甲乙从同一个位置同向出发，甲做匀速运动，乙从静止开始做匀加速运动，问乙什么时候追到甲？或者甲乙之间有一段距离。甲乙都是匀加速运动，乙的加速度更大，那什么时候追到...

这些题目对于一些孩子来说，就有些辛苦了。光一个匀加速度的距离公式S=1/2at^2，就会让不少人记得头疼。

但如果孩子一直熟悉图形化的思维模式，就简单多了。匀加速运动的图形不再是长方形，而是一个三角形（不断升高的速度）。所以匀加速的距离公式，其实就是三角形的面积公式，1/2底×高=1/2·t·at。

大家可以试着在网上搜一些追及相遇问题，无论是小学还是高中，看看怎么可以用数形结合的方式来解题。

比如我在网上搜到的这个问题：

这道题关键时刻就是随着A减速，B加速，直到两车速度相等的瞬间。如果此时A多行驶（追上）的距离，没超过原先两者的距离x，就不会相撞了。用图像的方式来表示，就是下图这样的虚线三角形。借助这个三角形就能很容易答题了。

感觉一不小心又犯了啰嗦太多的毛病，其实就是想说，不要把应用题当做简简单单的刷题，也不要将数学的基础教育变成简单的刷分。即便是小学生的应用题，也可以蕴含着很有意义的数学思维的基础训练。学好、用好这些思维方式，将会对孩子未来的理科学习，都有着重要的帮助。

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